想起之前学概率论的时候整理了不少计算的小技巧，正好拿来练练写公式。
常用的七个幂级数展开式
\[\displaystyle \sin x = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...,x\in(-\infty,+\infty)\]
\[\displaystyle \cos x = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-...,x\in(-\infty,+\infty)\]
\[\displaystyle e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...,x\in(-\infty,+\infty)\]
由以上三个公式可得欧拉公式：\(\displaystyle e^{ix}=i \sin x+ \cos x\)。
\[\displaystyle \ln(1+x)= \sum \limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-...,x\in(-1,1]\]
由\(\ln(1+x)\)的展开式可得\(\displaystyle \ln2= \sum \limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n}\)。
事实上，\(\ln(x+1)\)的展开式可以由下式推出：
\[\displaystyle\frac{1}{1+x}= \sum \limits_{n=0}^\infty (-x)^n=1-x+x^2-...,x\in(-1,1)\]
将上式中的 \(x\) 代换为\((-x)\)即可得到下式：
\[\displaystyle\frac{1}{1-x} =\sum \limits_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+...,x\in(-1,1)\]
事实上，\(\displaystyle\frac{1}{1+x}\)与\(\displaystyle\frac{1}{1-x}\)的泰勒展开式就是首项为\(1\)，公比为\(\mp x\)的等比数列的前 \(n\) 项和 \(S_n\) 在\(n\to\infty\)的极限。关于等比级数还有一个常用的结论：当\(|q|<1\) 时，级数\(\displaystyle \sum \limits_{n=1}^\infty a_1q^{n-1}\)收敛于\(\displaystyle \frac{a_1}{1-q}\)。
还有一个相对其他六个不太常用的一个公式：
\[\displaystyle (1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+...,x\in(-1,1),a\neq0\]
由第七个公式可得一个常用的等价无穷小：\((1+\beta x)^{\alpha}-1\)~\(\alpha \beta x,x\to0\)。
事实上，记住以上七个泰勒公式后，很多等价无穷小可以直接推出。
另外，同理第五个、第六个公式，有以下公式：
\[\displaystyle\frac{1}{1+x^2}= \sum \limits_{n=0}^\infty(-1)^nx^{2n}=1-x^2+...,x\in(-1,1)\]
对上式积分有：\(\displaystyle\int_0^x\frac{1}{1+t^2}dt=\int_0^x\displaystyle \sum \limits_{n=0}^ \infty(-1)^nt^{2n}dt\)，等式左侧\(=\arctan x\)，等式右侧\(=\displaystyle \sum \limits_{n=0}^ \infty(-1)^{n}(\frac{1}{2n+1}x^{2n+1})\)，所以：
\[\arctan x =\displaystyle \sum \limits_{n=0}^ \infty(-1)^{n}(\frac{1}{2n+1}x^{2n+1})=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-...,x\in(-1,1)\]
与\(e^{-x}\)有关的反常积分
首先是最简单的一个积分：\(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-x}dx=[-e^{-x}]_0^{+\infty}=1\)。
然后进行一些简单的推广：\(\displaystyle\int_0^{+\infty} x^n e^{-x}dx=n!,x\in N\)，当\(n=0\)时就是上面的积分，这个积分有很多种证明的方法，使用分部积分法加上第一数学归纳法或者待定系数法都可以证明，这里略去证明。当\(n\)换为另外一个实数时，以上积分的值需要进行推广，在实数域上就是伽马函数。值得注意的是\(\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\)，而\((n+1)!=(n+1)n!\)。
随后再进行一些变换：\(\displaystyle\int_0^{+\infty} x^n e^{-\lambda x}dx=\frac{n!}{\lambda ^ {n+1}},n\in N,\lambda\in R^+\)。有了上面的积分的结果，只需要进行一步换元，令\(\lambda x = t\)很容易计算出上面的结果。
与\(e^{-x^2}\)有关的反常积分
首先是最著名的高斯积分：\(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}\)。求解这个积分最常见的方法是将其转换为二重积分。记\(\displaystyle I = \int ^{+\infty}_{-\infty} e^{-x^2} dx\)，则：
\[\displaystyle I^2 = \int ^{+\infty} _{-\infty} e^{-x^2} dx\int ^{+\infty} _{-\infty} e^{-y^2} dy = \int ^{+\infty} _{-\infty} \int ^{+\infty} _{-\infty}e^{-(x^2+y^2)}dxdy \]
随后进行极坐标换元有：\(\displaystyle I^2 = \int_0^{2\pi}d\theta\int ^{+\infty} _0 \rho e^{-\rho^2}d\rho=\pi\)，显然\(I>0\)，因此\(I=\sqrt{\pi}\)。
此外，还有一个我很喜欢的广义积分：\(\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}\)，这个积分被称为狄利克雷积分积分，使用拉普拉斯变换可以很容易求解这个积分。
正态分布是概率论中很重要的的一种分布，设\(X\)~\(N(\mu,\sigma^2)\)，则\(X\)的概率密度函数为\(\displaystyle f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},x\in(-\infty,+\infty),\mu\in R,\sigma\in R^+\)，而由概率密度函数的意义有：\(\displaystyle \int ^{+\infty} _{-\infty}f_X(x)dx=1\)，因此有\(\displaystyle \int ^{+\infty} _{-\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx=1\)。纯粹从求解题目的角度来讲，从概率密度函数定义的角度出发也是可以求解高斯积分的。令\(\mu=0,\sigma=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\)，代入上述概率密度函数的积分有：\(\displaystyle \int ^{+\infty} _{-\infty}\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}dx=1\)，结果很显然了。
设随机变量\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，则有：
\[\displaystyle E(X)=\int ^{+\infty} _{-\infty}xf_X(x)dx=\int ^{+\infty} _{-\infty}\frac{x}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx{\xlongequal{t=\frac{x-\mu}{\sigma}}}\int ^{+\infty} _{-\infty}\frac{\sigma t + \mu}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{t^2}{2}}d(\sigma t+\mu)=\mu\int ^{+\infty} _{-\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\mu\]
同理可求得\(E(X^2)\)：
\[\displaystyle E(X^2)=\int ^{+\infty} _{-\infty}x^2 f_X(x)dx=\int ^{+\infty} _{-\infty}\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx{\xlongequal{t=\frac{x-\mu}{\sigma}}}\int ^{+\infty} _{-\infty}\frac{(\sigma t + \mu)^2}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{t^2}{2}}d(\sigma t+\mu)=\mu^2+\frac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi}}\int ^{+\infty} _{-\infty}t^2e^{-\frac{t^2}{2}}dt\]
对于最后一部分的积分，有：\(\displaystyle \int ^{+\infty} _{-\infty}t^2e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\int^{+\infty} _{-\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt-[te^{-\frac{t^2}{2}}]^{+\infty} _{-\infty}=\sqrt{2\pi}\)，因此\(E(X^2)=\mu^2+\sigma^2\)。
又\(D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\)，故\(D(X)=\sigma^2\)。
在求解正态分布的期望和方差时，我们又得到了一个非常有用的积分值\(\displaystyle \int^{+\infty} _{-\infty}\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=1\)。事实上，可以求出标准正态分布的\(n\)阶原点矩。设\(X\sim N(0,1)\)当\(n\)为偶数时，\(E(X^n)=(n-1)!!\)；当\(n\)为奇数时，\(E(X^n)=0\)。还有一个比较常用的值为\(E(X^4)=3\)。
大学物理中出现的一些积分
\[\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}x^{2n}e^{-bx^2}dx =2\int^{+\infty}_0(\frac{t}{b})^ne^{-t}d(\sqrt\frac{t}{b})=\frac{1}{(\sqrt b)^{2n+1}}\int_0^{+\infty}t^{n-\frac{1}{2}}e^{-t}dt=\frac{1}{(\sqrt b)^{2n+1}}\Gamma(n+\frac{1}{2})=\displaystyle\frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}b^n}\sqrt{\frac{\pi}{b}}\]
\[\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\frac{x^3}{e^x-1}dx=\int_{0}^{+\infty}x^3\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}dx=\displaystyle \int_0^{+\infty}x^3 \sum_{n=1}^{\infty} e^{-n} dx=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{+\infty} x^3e^{-n}dx=3! \cdot \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{15}\]