算法日常练习5

2021年10月8日练习。

BJTU-ALGO 1002

记得我第一次用这个平台还是2020年的暑假小学期的时候，当时想按顺序做几道题，但是到这个题目就卡住了。思索很久也没有答案，正好最近在学动态规划，于是想着把这道题解出来。 ### 题目描述

在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：\(0,1,\dots,L\)（其中\(L\)是桥的长度）。坐标为\(0\)的点表示桥的起点，坐标为\(L\)的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。 题目给出独木桥的长度\(L\)，青蛙跳跃的距离范围\(S,T\)，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

对于30%的数据，\(L \leq 10000\)；

对于全部的数据，\(L \leq 10^9\)。

输入数据

输入共包括三行。

第一行有一个正整数\(L(1≤L≤10^9)\)， 表示独木桥的长度。

第二行有三个正整数\(S,T,M\)， 分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离及桥上石子的个数，其中\(1≤S≤T≤10,1≤M≤100\)。

第三行有\(M\)个不同的正整数分别表示这\(M\)个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

输出数据

输出只包括一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

样例输入

1
2
3

10
2 3 5
2 3 5 6 7

样例输出

1

2

题目分析

阅读题目可知只要跳过\(L\)即可，记到达某一位置\(i\)所需踩的最少的石头数记作\(\text{dp}[i]\)，其中\(i \in [0, L-1+T]\)，当前到达当前位置所需的代价与之前\(S\)到\(T\)的位置有关。因此很容易写出状态转移方程\(\text{dp}[i]= \min(\text{dp}[i-j])\)，其中\(S \leq i-j \leq T\)。再看题目中\(L\)的数据范围可知对于\(70\%\)的数据需要进行空间的压缩。由\(S\)和\(T\)的范围，记\(\text{MOD}=\text{lcm}(1,...,10)\)，则\(\text{MOD}=2520\)。之所以这样做的原因是要求出从任一位置\(i\)一定能前进的距离的最大值，也就是说可以任取\(i\)一定能从\(i\)跳至\((i+\text{MOD})\)处。由此可以对距离进行压缩，压缩至大约\(5 \times 10^5\)的范围内，可以使用动态规划。最终在区间\([L,L+T-1]\)的范围内找出最小值输出即可。

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#include <bits/stdc++.h>
#define MOD 2520
using namespace std;
int main() {
	int L;
	cin >> L;
	int S, T, M;
	cin >> S >> T >> M;
	vector<int> stones;
	for (int i = 0; i < M; i++) {
		int temp;
		cin >> temp;
		stones.emplace_back(temp);
	}
	sort(stones.begin(), stones.end(), less<int>());
	vector<bool> compressed(MOD * 107);
	vector<int> dis;
	for (int i = 1; i < M; i++) {
		dis.push_back((stones[i] - stones[i - 1]) % MOD);
	}
	stones[0] = stones[0] % MOD;
	stones[0] += (stones[0] == 0 ? MOD : 0);
	compressed[stones[0]] = true;
	for (int i = 1; i < M; i++) {
		stones[i] = stones[i - 1] + dis[i - 1];
		compressed[stones[i]] = true;
	}
	L = stones[M - 1];
	vector<int> dp(L + T + 1, 107);
	dp[0] = 0;
	for (int i = 1; i <= L + T; i++) {
		for (int j = S; j <= T; j++) {
			if (i - j >= 0) {
				dp[i] = min(dp[i - j], dp[i]) + (compressed[i] == true ? 1 : 0);
			}
		}
	}
	int ans = 10e9;
	for (int i = L; i < L + T; i++) {
		ans = min(ans, dp[i]);
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}