复变函数与积分变换自学笔记

复变函数与积分变换能为积分求解、信号处理等问题提供新的方法，值得学习。

前言

这篇博客是学习复变函数与积分变换（华中科技大学）时所作的笔记，适合快速入门或者期末考试做题家速成，如果希望深入学习复变函数则建议学习上海交大姚卫红老师的复变函数与概率。

本文将非负下标的无穷级数的求和$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}$简记为$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}$。

复变函数

复数的一些性质

\[\displaystyle z+\bar{z} = 2\text{Re}(z) \Rightarrow \text{Re}(z) = \frac{(z+\bar{z})}{2}\]

\[\displaystyle z-\bar{z} = 2i\text{Im}(z) \Rightarrow \text{Im}(z) = \frac{z-\bar{z}}{2i}=\frac{i(\bar{z} - z)}{2}\]

\[\bar{z}z=z\bar{z}=|z^2|=|z|^2\]

\[|\bar{z_1}z_2|=|z_1\bar{z_2}|=|z_1||z_2|\]

\[z_1\bar{z_2}+\bar{z_1}z_2=2\text{Re}(z_1z_2)\]

\[e^{i(\theta + \pi)}=-e^{i\theta}\]

棣莫弗定理

由$z=x+iy=re^{i\theta}=r(\cos \theta + i\sin \theta),\theta = \arg{z} \in (-\pi, \pi]$，有下式。

\[\displaystyle |\prod_{j} z_j| = \prod_{j} |z_j|, \text{Arg}({\prod_{j} z_j}) - \sum_{j}\text{Arg}{z_j} = 2k \pi\]，

上式可用数学归纳法证明。

同理有$\displaystyle |\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}, \text{Arg}(\frac{z_1}{z_2}) = \text{Arg}{z_1} - \text{Arg}{z_2}$。

利用棣莫弗定理可以求解复数的$n$次方根。

已知$w^n=z$，不妨作如下假设。

\[z=r(\cos \theta + i \sin \theta),w=\rho(\cos \phi + i \sin \phi)\]

根据棣莫弗定理有：$\rho^n(\cos {n\phi} + i \sin {n\phi}) = r(\cos \theta + i \sin \theta)$，由复数相等的充要条件有：

\[r = \rho^n, n\phi = \theta + 2k \pi\]

因此有$\rho = \sqrt[n]{r},\displaystyle \phi = \frac{\theta + 2k \pi}{n}$，当$k$取遍$\{0,1,\cdots,n-1\}$，即可取得所有的$n$次方根。

事实上，对于$xOy$平面上的点$z = x + iy$，那么：

\[\text{arg}z = \left\{\begin{matrix} \displaystyle\arctan \frac{y}{x}, x > 0, y \neq 0 \\ \displaystyle\arctan \frac{y}{x} - \pi, x < 0, y < 0 \\ \displaystyle\arctan \frac{y}{x} + \pi , x < 0, y > 0 \\ \pi, x < 0, y = 0 \end{matrix}\right.\]

区域

设$G$为一平面点集，$z_0$为$G$中任意一点。如果存在$z_0$的一个邻域，该邻域中的所有点都属于$G$，那么称$z_0$为$G$的内点。如果$G$内的每个点都是它的内点，那么称$G$为开集。对于平面点集$D$，若其中任意两点都可以用完全属于$D$的一条折线连接起来，那么称点集$D$为连通的。对于平面点集$D$，如果$D$是连通的开集，那么称之为区域。区域和其边界共同构成闭区域，记作$\bar{D}$。

设$D$为复平面内的一个区域，如果点$P \notin D$，但是在$P$的任意小邻域中总包含$D$中的点，则称$P$为$D$的边界点。$D$的所有边界点组成$D$的边界。区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点组成。区域$D$与它的边界一起构成闭区域或闭域，称作$\bar{D}$。

如果一个区域$D$可以被包含在某一个以原点为中心的圆中，即存在正数$M$，使得$D$中的每个点$z$都满足$|z|<M$，那么称$D$为有界的，否则为无界的。

为介绍单连通域和多连通域，现介绍光滑曲线的相关概念。两个连续实变函数可以表示出一条连续的平面曲线，其复数形式可以是$z(t)=x(t)+iy(t)$。若$x(t)$和$y(t)$在$[a,b]$都有连续的一阶导数，并且$[x'(t)]^2+[y'(t)]^2 \neq 0, \forall t \in [a,b]$，那么称这段曲线为光滑曲线，由几段光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线。没有重点的连续曲线被称为简单曲线（与离散数学中关于简单路径的定义相同）或者 Jordan 曲线。对于一个区域，如果其中的任意简单闭曲线的内部都完全包含于区域中，那么该区域被称为单连通区域，否则是多（复）连通区域。单连通区域内的简单闭曲线可以通过连续的变形缩为一点，这是多连通域所不具有的拓扑性质。

平面曲线实数形式和复数形式之间的转换

善用以下公式即可：

$|z|^2 = z\bar{z}$；
$x = \displaystyle \frac{z + \bar{z}}{2}$ $\displaystyle y = \frac{z - \bar{z}}{2i}$；
$z = x + yi$。

复变函数

复变函数的导数、微分与解析性

设$f(z)$为一复变函数，若极限$\displaystyle\lim_\limits{\Delta z \to 0}\frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z}=A \in \text{C}$，那么$f'(z)=A$，并且有$f(z + \Delta z)- f(z) = f'(z)\Delta + \rho(z), \rho(z) \to 0$，值得注意的是$\Delta z \to 0$的方式必须是任意的。复变性质与单元实函数基本一致，即可导$\Leftrightarrow$可微。

若$f(z)$在$z_0$的某个邻域均可导，则称$f(z)$在$z_0$解析。$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在一点（区域）解析的充要条件是$u(x,y)$和$v(x,y)$均可微且满足 Cauchy-Riemann 方程：

\[\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}\]

复变函数解析定理非常重要，下面给出证明。

首先证明必要性。不妨令$\Delta z = \Delta x + i \Delta y,\rho(z) = \rho_1 + i\rho_2, f'(z) = a + bi$，那么有：

$f(z + \Delta z)- f(z) = f'(z)\Delta + \rho(z) \Delta z = (a+bi)(\Delta x + i \Delta y) + \rho_1 + i\rho_2$

$= (a\Delta x - b \Delta y + \rho_1) + i(b\Delta x + a\Delta y + \rho_2)$

可以发现$\Delta u = a\Delta x - b \Delta y + \rho_1$和$\Delta v = b\Delta x + a\Delta y + \rho_2$，结合$\rho(\Delta z) = \rho_1 + i\rho_2$可知两函数都可微，并且有：

\[\frac{\partial u}{\partial x} = a = \frac{\partial v}{\partial y}, -\frac{\partial u}{\partial y} = b = \frac{\partial v}{\partial x}\]

再证明充分性。由$u(x,y)$和$v(x,y)$可微有以下二式：

\[\Delta u = \frac{\partial u}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial u}{\partial y} \Delta y + \alpha_1(\Delta z)\]

\[\Delta v = \frac{\partial v}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial v}{\partial y} \Delta y + \alpha_2(\Delta z)\]

那么利用 Cauchy-Riemann 方程可得：

\[f(z + \Delta z) - f(z) = \Delta u + i\Delta v = (\frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x})(\Delta x + i\Delta y) + \eta|z|\]

其中$\eta = \alpha_1 + i\alpha_2,\displaystyle \lim_\limits{\Delta z \to 0} \eta = 0$，则有$f'(z) = \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}$。

另外，解析函数的导数依然是解析函数，这一定理此处不做证明。

若二元实函数$\phi(x,y)$在区域$D$内有二阶连续偏导数，且满足 Laplace 方程，即$\displaystyle \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = 0$，那么称$\phi(x,y)$在区域$D$内调和或在$D$上的调和函数。若$f(z) = u + iv$在区域$D$内解析，那么$u$和$v$都是调和函数。解析函数的实部和虚部的任意阶偏导都是调和的。此外还可以定义共轭调和函数，记$\phi(x,y)$和$\psi(x,y)$都是区域$D$上的调和函数且满足 Cauchy-Riemann 方程：

\[\frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{\partial \psi}{\partial y}, \frac{\partial \psi}{\partial x} = -\frac{\partial \phi}{\partial y}\] 那么称$\psi(x,y)$是$\phi(x,y)$的共轭调和函数。注意共轭调和性不具有对称性。基于共轭调和函数的定义，复变函数是解析函数的另一个充要条件是虚部是实部的共轭调和。

常见的复变函数及其定义

指数函数被定义为$f(z) = e^{z} = \exp z = e^{x} (\cos x + i \sin x),x,y \in R$，具有的性质有：

$|e^{z}| = e^{x}, \text{Arg}e^{z} = y + 2k\pi, k \in \text{Z}$;
单值函数；
$\forall z \in \text{C}, e^{z} \neq 0$；
$e^{z_1}e^{z_2} = e^{z_1+z_2}$；
以$2\pi i$为基本周期；
在复平面上处处解析，并且有$(e^z)' = e^{z}$。

对数函数的定义依赖于指数函数，若$\exp w = z$，则称$w$为$z$的对数函数，记作$w = \text{Ln} z$，注意这里的对数符号的首字母需要大写，与实变函数中的对数函数加以区分，具有的性质有：

多值性，$w = \text{Ln}z = \ln r + i\text{Arg}z$，主枝被定义为$w_0 = \ln z = \ln|z| + i\arg z$，当$z = x(x > 0)$时，$\text{Ln}z = \ln x$；
$\displaystyle\text{Ln}\frac{z_1}{z_2} = \text{Ln}z_1 - \text{Ln}z_2, \text{Ln}z_1z_2 = \text{Ln}z_1 + \text{Ln}z_2$，这两个公式应该理解为等式左右两边的值构成的集合相同；
$\text{Ln}e^z = z + 2k\pi i$；
主枝$\ln z$在除去原点和负实轴的平面内解析，并且$\text{Ln}z$在除去原点和负实轴的平面内解析且具有相同的导数值，并且注意对数函数求导数应当使用反函数求道法则：

\[w = \ln z \Rightarrow \frac{dw}{dz} = \frac{1}{\displaystyle \frac{dz}{dw}} = \frac{1}{e^w} = \frac{1}{z}\]

幂函数的定义依赖于对数函数，$w = z^{\alpha} = e^{\alpha \text{Ln} z} = e^{\alpha(\ln z + 2k\pi i)}, z\neq 0$，其中$\alpha$为复常数，并且规定$\alpha \in \text{R}^+ \wedge z = 0 \Rightarrow z^{\alpha} = 0$。由于对数函数的多值性，幂函数一般也是多值的。幂函数的多值性取决于$\alpha$的取值范围：

当 $\alpha = n \in \text{N}^+$时，$w = z^{\alpha} = e^{n \ln z}$，是复平面上的单值解析函数；
当$\alpha = \displaystyle \frac{p}{q}$，其中$p,q \in Z \wedge (p,q)=1$时，$w = (e^{2k\pi pi})^{\frac{1}{q}}$，是$q$值函数；
当$\alpha$为无理数或虚部不为零的复数时，$z^{\alpha}$是无穷多值函数。

正弦函数和余弦函数都需要利用指数函数进行定义：

\[\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}, \sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}\] 不难发现，两个三角函数具有如下性质：

当$z = x$时，其与实函数定义一致；
在复平面内解析，并且两函数导数在形式上与实函数保持一致；
奇偶性与实函数一致；
以$2\pi$为周期；
无界性；
实函数中的三角恒等式仍成立。其他三角函数可以利用正弦函数和余弦函数进行定义。

双曲函数也是利用指数函数进行定义的：

\[\cosh z = \frac{e^{z} + e^{-z}}{2}, \sinh z = \frac{e^{z} - e^{-z}}{2}, \tanh z = \frac{\sinh z}{\cosh z}\] 不难发现，双曲正弦函数和双曲余弦函数分别具有如下性质：

$\sinh z = -i \sin iz, \cosh z = \cos iz, \tanh z = -i\tan iz$，$\sinh z$和$\cosh x$都是复平面上处处解析的，$(\sinh z)' = \cosh z, (\cosh z)' = \sinh z$，而$\tanh z$在复平面上除去$z = \displaystyle (k\pi + \frac{\pi}{2})i, k \in \text{Z}$外处处解析，$(\tanh z)' = \displaystyle\frac{1}{\cosh^2 z}$；
双曲正弦函数和双曲余弦函数以$2\pi i$为周期，双曲正切函数以$\pi i$为周期。

复积分

复积分的定义和性质

与实积分类似，复积分的定义也需要划分、近似求和以及取极限三个步骤进行。设$C$为简单光滑的有向曲线，其方向为从$a$到$b$，并且$f(z)$在$C$上有定义：

任意划分：$z_ 0 = a, z_1,z_2,\cdots, z_n = b$，令$\Delta z_k = z_k - z_{k - 1}, \lambda = \max_\limits{1\leq k \leq n}|\Delta z_k|$；
近似求和：在每个弧线段$\mathop{z_{k - 1}z_k}$上任取一点$\zeta_k \in \mathop{z_{k - 1}z_k}$，近似求和结果为$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}f(\zeta_k)\Delta z_k$；
取极限：若极限$\displaystyle \lim_\limits{\lambda \to 0}\sum_{k=1}^{n}f(\zeta_k)\Delta z_k$存在，即极限的结果不依赖于$C$的划分方式和$\zeta_k$的选取，那么称和式的极限为$f(z)$沿$C$的积分，记作$\displaystyle \int_{C}f(z) dz$，另外，一般用$\displaystyle \oint_{\Gamma}f(z)dz$表示沿闭曲线逆时针方向的积分。

复积分的性质与第二类曲线积分的性质类似：

$\displaystyle \int_{C}[\alpha f(z) + \beta g(z)]dz = \alpha \int_{C}f(z)dz + \beta \int_{C}g(z)dz$；
$\displaystyle \int_{C}f(z)dz = -\int_{C^-}f(z)dz$；
$\displaystyle \int_{C}f(z)dz = \int_{C_1}f(z)dz + \int_{C_2}f(z)dz, C = C_1 + C_2$；
$\displaystyle \bigg\lvert \int_{C}f(z)dz\bigg\rvert \leq \int_{C}|f(z)||dz| = \int_{C}|f(z)|ds \leq ML$，其中$M = \max_\limits{z \in C}|f(z)|$，$L$为$C$的弧长。

复积分的计算方法

复积分的计算可以使用曲线积分或是直接化为定积分计算，此外，还可以利用原函数、Cauchy 积分公式、高阶导公式以及留数计算。

Cauchy 积分定理和公式

设函数$f(z)$在单连通域内解析，$\Gamma$为$D$内的任意一条简单闭曲线，那么$\displaystyle \oint_{\Gamma}f(z)dz = 0$，该定理又被称为 Cauchy-Goursat 基本定理，证明如下：

$\displaystyle\oint_{\Gamma}f(z)dz = \oint_{\Gamma} (udx - vdy) + i\oint_{\Gamma} (vdx + udy)$

$\displaystyle\xlongequal{Green} -\iint_{G}(\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y})dxdy + i\iint_{G}(\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y})dxdy \xlongequal{C-R}0$

设单连通域的边界为$C$，函数$f(z)$在$D$内解析，在$\bar{D} = D + C$上连续，那么$\displaystyle \oint_{C}f(z)dz = 0$。

闭路变形原理的内容为：设二连通域的边界为$C = C_1 + C_2^-$，函数$f(z)$在$D$内解析，在$\bar{D}$上连续，那么$\displaystyle \oint_{C}f(z)dz = 0$，或$\displaystyle \int_{C_1}f(z)dz = \int_{C_2}f(z)dz$。该定理的证明只需要引入连接$C_1$和$C_2$的双向曲线，将双连通域转化为单连通域即可。如果无法理解双连通如何通过连一条线就变成单连通域，不妨采用拓扑变形的方法。

下面计算一个重要积分。求$\displaystyle \oint_{C}\frac{dz}{(z - z_0)^{n+1}}$，其中$C$为曲线$z = z_0 + re^{i\theta}, 0\leq \theta \leq 2\pi$，$n$为整数。

\[\oint_{C}\frac{dz}{(z - z_0)^{n+1}} = \frac{i}{r^n}\int_{0}^{2\pi}e^{-in\theta}d\theta\]

当$n = 0$时，结果为$i\displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi i$，否则结果为$i\displaystyle \int_{0}^{2\pi}(cos n\theta - i\sin n\theta)d\theta = 0$，综上所述：

\[\oint_{C}\frac{dz}{(z - z_0)^{n+1}} = \left\{\begin{matrix} 0, n\neq 0 \\ 2\pi i, n = 0 \end{matrix}\right.\]

上说结论说明该积分的值与圆周的中心和半径无关，非常重要，应记住。

利用上述积分的结果可以计算$I=\displaystyle \oint_{\Gamma}\frac{dz}{(z-z_0)^n}, n \in \text{Z}$，其中$\Gamma$为包含$z_0$的一条闭曲线。

在区域内部引入曲线$C:|z-z_0|=r \Rightarrow z = z_0 + re^{i\theta}$，那么函数$f(z)$在$\bar{D} = D + \Gamma + C^{-}$上解析，因此：

\[\displaystyle I = \oint_{\Gamma}\frac{dz}{(z-z_0)^n} = \oint_{C}\frac{dz}{(z-z_0)^n} = \left\{\begin{matrix} 0, n \neq 1 \\ 2\pi i, n = 1 \end{matrix}\right.\]

事实上，还将柯西积分定理推广到多连域情况。设多连通域的边界为$C = C_0 + \displaystyle \sum_{k=1}^{n}C^{-}_{k}$，函数$f(z)$在$D$内解析，在$\bar{D}$上连续，那么$\displaystyle \oint_{C}f(z)dz = 0$，或$\displaystyle \oint_{C_0}f(z)dz = \sum_{k=1}^{n}\oint_{C_k}f(z)dz$。

若函数在区域$D$内解析，在$D$的闭包上连续，$z_0 \in D$，那么$f(z_0) = \displaystyle \frac{1}{2\pi i}\oint_{C}\frac{f(z)}{z - z_0}dz$，其中$C=\partial D$。这说明解析函数在其解析区域内的值完全由边界上的值确定，换言之，解析函数可以用其解析区域边界上的值以一种特定的积分形式表达出来。这个公式被称为 Cauchy 积分公式，可以用于积分的计算。

若函数在$|z - z_0|<R$内解析，在$|z - z_0|$上连续，那么$\displaystyle f(z_0) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}f(z_0+Re^{i\theta})d\theta$，该公式被称为平均值公式，可以由 Cauchy 积分公式证明：

\[f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\oint_{|z - z_0| = R}\frac{f(z)}{z - z_0}dz = \frac{1}{2\pi i}\int_{0}^{2\pi}\frac{f(z_0 + Re^{i\theta})}{Re^{i\theta}}Re^{i\theta}id\theta = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(z_0 + Re^{i\theta})d\theta\]

如果$f(z)$在$D$内解析，且不为常数，那么$D$内$|f(z)|$没有最大值，这被称为最大模原理。由平均值公式可知：函数$f(z)$在解析区域$D$内任意一点$z_0$的函数值是以该点为圆心的圆周上所有点的平均值。因此$|f(z_0)|$不能达到最大，除非$f(z)$为常数。由最大模原理可知：

在区域$D$内解析的函数，如果其模在$D$内达到最大值，那么该函数一定是常数；
若$f(z)$在有界区域$D$内解析，在$\bar{D}$上连续，那么$|f(z)|$在$D$的边界上一定能达到最大值。

原函数

利用 Cauchy-Goursat 定理可知，若函数$f(z)$在单连通域内解析，并且$C_1$和$C_2$都是区域$D$内的以$z_0$为起点、$z_1$为终点的简单曲线，那么$\displaystyle \oint_{C_1}f(z)dz = \oint_{C_2}f(z)dz$，这说明解析函数在单连通域内的积分只和起点、终点有关，在计算时可以根据实际情况选择计算量更小的路径。

不难联想第二类曲线积分中的相关性质：设$D$为$xOy$平面上的单连通闭区域，函数$P(x,y)$和$Q(x,y)$在$D$上有一阶连续偏导数，那么以下性质两两等价：

沿$D$内任何光滑闭曲线$C$，总有$\displaystyle \oint_{C} Pdx + Qdy = 0$；
积分$\displaystyle \oint_{C} Pdx + Qdy$的值只与起点、终点有关，而与路径无关；
$Pdx + Qdy$为$D$内的某个函数$u(x,y)$的全微分，即$du=Pdx + Qdy$；
在$D$内的每一点总有$\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$。

对于复变函数，同样可以提出原函数的概念：设在单连通域$D$中，$F(z)$总满足$F'(z) = f(z)$，那么称$F(z)$为$f(z)$在$D$上的一个原函数，原函数的集合被称为$f(z)$的不定积分。$f(z)$的任何两个原函数之间只相差一个常数。对于解析函数而言，其原函数必定解析。

解析函数在单连通域内沿简单曲线的积分可以使用 Newton-Leibniz 公式计算。设$F(z)$为$f(z)$的原函数，那么$\displaystyle \int_{z_0}^{z_1}f(z)dz = F(z_1) - F(z_0)$，其中$z_0,z_1 \in D$。

解析函数的高阶导数

如果函数$f(z)$在区域$D$内解析，在$\bar{D} = D + C$上连续，那么由 Cauchy 积分公式有：

\[f(z) = \displaystyle \frac{1}{2\pi i}\oint_{C}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}d\zeta, z \in D\]

对上式求导有：$\displaystyle f(z)^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\oint_{C} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^{n+1}}d\zeta, z \in D$，这说明了解析函数的导数依然解析。上式还可以像 Cauchy 积分公式一样用于求解特定形式的积分值。利用高阶导数还可以得到以下两条定理：

设函数$f(z)$在$|z - z_0| < R$内解析，且$|f(z)| < M$，那么$|f^{(n)}(z_0)| \leq \displaystyle \frac{n!M}{R^n}, n = 1, 2, \cdots$；
设函数$f(z)$在全平面上解析且有界，那么$f(z)$是常数。

幂级数

基本概念及 Aebl 定理

基本概念

类比实数序列极限的概念，可以得到复数序列的极限的概念，这里不再赘述。设$z_n = x_n + iy_n$，$a = \alpha + i\beta$，那么：

\[\displaystyle \lim_\limits{n \to +\infty}z_n = a \Leftrightarrow \lim_\limits{n \to +\infty}x_n = \alpha \wedge \lim_\limits{n \to +\infty}y_n = \beta\]

这是显然的，这里不再证明。下面开始介绍复数项级数。设$\{z_n\}$是一复数序列：

称$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}z_n$为复数项级数，简记为$\displaystyle\sum z_n$；
称$s_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n z_k = z_1+z_2+\cdots+z_n$为级数的部分和；
如果序列$\{s_n\}$收敛，即$\displaystyle \lim_\limits{n \to \infty}s_n = s$，则称级数收敛并且极限值$s$称为级数的和；
如果序列$\{s_n\}$不收敛，则称级数发散。
若$\displaystyle \sum |z_n|$收敛，则称$\displaystyle \sum z_n$绝对收敛；若$\displaystyle \sum|z_n|$发散，$\displaystyle \sum z_n$收敛，则称$\displaystyle \sum z_n$条件收敛。

设$z_n = x_n + iy_n$，那么$\displaystyle \sum z_n$收敛$\Leftrightarrow\displaystyle\sum x_n$和$\displaystyle \sum y_n$都收敛；此外，与实数项级数类似，复数项级数也有性质：

$\displaystyle \sum z_n$收敛$\Rightarrow \lim_\limits{n \to \infty} z_n = 0$；
若$\displaystyle \sum|z_n|$收敛$\Rightarrow \displaystyle \sum z_n$收敛。

基于复数项级数，可以定义复变函数项级数。设复变函数$f_n(z)$在区域$G$内有定义：

称$\{f_n(z)\}$为区域$G$内的复变函数序列；
称$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}f_n(z)$为区域$G$内的复变函数项级数，简记为$\displaystyle \sum f_{n}(z)$。

设$\displaystyle \sum f_n(z)$为区域$G$内的复变函数项级数：

称$s_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}f_k(z)$为级数$\displaystyle \sum f_n(z)$的部分和；
若对于$G$内的某一点$z_0$，有$\displaystyle \lim_\limits{n \to \infty}s_n(z_0) =s(z_0)$，则称级数$\displaystyle \sum f_n(z)$在$z_0$点收敛；
若存在区域$D \subseteq G$，对于$\forall z \in D$，有$\displaystyle \lim_\limits{n \to \infty}s_n(z) = s(z)$，则称级数$\displaystyle \sum f_n(z)$在区域$D$内收敛，此时称$s(z)$为和函数，$D$为收敛域。

幂级数由如下的复变函数项级数定义：

\[\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z - a)^n = a_0 + a_1(z -a)+ a_2(z - a)^2 + \cdots\]

其中$a$和$\{a_n\}_{n=0,1,2\cdots}$为复常数，当$a \neq 0$时，幂级数是$\text{(I)}$型的，否则是$\text{(II)}$型的。以后的内容主要对$\text{(II)}$型幂级数进行讨论，所有得到的结论只需要将$z$替换为$(z - a)$即可应用到$\text{(I)}型幂级数$。对于两种形式的幂级数，它们都在展开点收敛。

Abel 定理

下面给出幂级数的收敛定理—— Abel 定理。对于幂级数$\displaystyle \sum a_n z^n$有：

若级数在$z_0$点收敛，则它在$|z| < |z_0|$上绝对收敛；
若级数在$z_1$点发散，则它在$|z| > |z_1|$商发散。

事实上，级数在$z_0$点收敛，那么有$\lim_\limits{n\to \infty} a_n z_0^n = 0$，则存在$M$，使得：

\[\forall n, |a_nz_0^n| \leq M \Rightarrow |a_nz^n| = |a_nz^n_0|\cdot \displaystyle |\frac{z}{z_0} |^n \leq Mq^n\]

其中$q = \displaystyle |\frac{z}{z_0} | \in [0,1)$，由等比级数的性质以及比较审敛法可知级数在$|z| < |z_0|$上绝对收敛。利用反证法可以证明另外一个定理，假定级数在$z_2 \in \{|z| > |z_1|\}$处收敛，那么根据已证明的定理可知级数在$|z| <|z_2|$收敛，这与级数在$z_1$处发散相矛盾。

以上的两个定理说明了级数收敛点构成的集合的内点是一个圆，该圆被称为收敛圆，$|z| < R$的收敛圆记作$C_R$，其中$R$是收敛半径，$R=0$说明级数只在原点收敛；$R = +\infty$表明级数在整个复平面上都收敛。注意级数在收敛圆边界的收敛情况是不一定的。

接下来介绍求收敛半径的方法，主要包括两种：

如果$\displaystyle \lim_\limits{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \lambda$，则收敛半径为$R = \displaystyle \frac{1}{\lambda}$（比值法）；
如果$\displaystyle \lim_\limits{n \to \infty}\sqrt[n]{|c_n|} = \rho$，则收敛半径为$R= \displaystyle\frac{1}{\rho}$（根值法）。

性质

运算性质

设$f(z) = \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty}a_nz^n, |z| < r_1$和$g(z) = \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty}b_n z^n, |z| < r_2$，令$r = \min(r_1, r_2)$，那么在$|z| < r$内有：

$f(z) \pm g(z) = \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty}(a_n \pm b_n)z^n$；
$f(z)g(z) = \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty}a_n z^n \cdot \sum_{n=0}^{\infty0}b_n z^n = \sum_{n = 0}^{\infty}(\sum_{k = 0}^{n}a_kb_{n-k})z^n$。

分析性质

设$f(z) = \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty}a_n(z - z_0)^n, |z - z_0| < R$，那么：

函数$f(z)$在收敛圆$|z - z_0| < R$内解析；
函数$f(z)$的导数可以由其幂级数逐项求导得到，即$f'(z) = \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty}na_n(z - z_0)^{n-1}$；
在收敛圆内可以逐项积分，即$F(z) = \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}(z - z_0)^{n + 1} + C$，其中$C$是复常数。

复合性质

设级数$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n$在$|z| < R$内收敛，和函数为$f(z)$，又设函数$g(z)$在$|z| < r$内解析，并且$|g(z)| < R$，那么当$|z| < r$时，$f[g(z)] = \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty}a_n[g(z)]^n$。

Taylor 级数

首先介绍 Taylor 定理的内容。设函数$f(z)$在区域$D$内解析，$C$为$D$的边界，并且有$z_0 \in D$，$R = \min_\limits{z \in C}|z - z_0|$，那么当$|z - z_0| < R$时，有：

\[f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty}a_n(z - z_0)^n, a_n = \frac{1}{n!}f^{(n)}(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\oint_{C}\frac{f(z)}{(z - z_0)^{n + 1}}dz\]

这里需要注意：

根据幂级数的性质，幂级数的收敛域一定是圆域；
幂级数收敛$\Rightarrow$和函数解析。

求解函数的 Taylor 级数时，需要熟记以下两个已知的展开式（形式上与实变函数相同）：

\[\frac{1}{1 - z} =1 + z + z^2 +\cdots , |z| < 1\]

\[e^z = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{z^n}{n!} = 1 + z + \frac{1}{2!}z^2 + \frac{1}{3!}z^3 + \cdots, |z| < +\infty\]

Laurent 级数

考察$\displaystyle \frac{1}{1 - z}$的 Taylor 级数，注意到其在复平面上除了奇点$z = 1$外都解析，但正是这一个奇点，使得函数只能在$|z| < 1$的范围展开。注意到$|z| > 1$时有如下等式成立：

\[\frac{1}{1-z} = -\frac{1}{z} \frac{1}{1 - \displaystyle\frac{1}{z}} = -(\frac{1}{z} + \frac{1}{z^2}+\cdots)\]

这样一来有：

\[\frac{1}{1 - z} = \left\{\begin{matrix} 1 + z + z^2 + \cdots, |z| < 1 \\ \displaystyle -(\frac{1}{z} + \frac{1}{z^2} + \frac{1}{z^3} + \cdots), |z| > 1 \end{matrix}\right.\]

上述例子带来的启示为：如果不限制一定要展开为只含正幂次项的幂级数的话，即引入负幂次项，那么有可能将函数在除了奇点所在的圆周以外的整个复平面展开。

考虑级数$\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z - z_0)^n$的收敛特性：对于正（非负）幂次部分，收敛域的形式一定是$|z - z_0| < R_2$；对于负幂次部分，收敛域的形式一定是$R_1 < |z - z_0|$。因此，如果原级数收敛，那么其收敛域一定是圆环域$R_1 < |z - z_0| < R_2$，并且，级数的和函数在收敛域内解析。

Laurent 定理的内容为：设$f(z)$在圆环域$R_1 < |z - z_0| < R_2$，那么$f(z)$一定能在该域中展开为如下的形式：

\[f(z) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}a_n(z - z_0)^n,a_n = \frac{1}{2\pi i}\oint_{C}\frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n + 1}}d\zeta, n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots\] 其中$C$为在圆环域内任意一条环绕$z_0$的简单闭曲线。上述形式的级数被称为 Laurent 级数，一个在某圆环域中解析的函数展开为 Laurent 级数的结果是唯一的。Laurent 级数中，称正（非负）次幂项和负幂次项分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。格外注意 Laurent 级数中各项的系数与 Taylor 级数不同，即使是正幂次项。求解函数的 Laurent 级数前必须先将复平面划分为若干解析环。

下面以求解函数$f(z) = \displaystyle \frac{1}{(z - 1)(z - 2)}$在$z = 0$处展开的 Laurent 级数。

发现函数奇点$z = 1$和$z = 2$，据此将复平面划为以下$3$个解析域：

$D_1 = \{z| |z| < 1\}$；
$D_2 = \{z| 1 < |z| < 2\}$；
$D_3 = \{z| |z| > 2\}$。

又$f(z) = \displaystyle \frac{1}{1 - z} - \frac{1}{2 - z}$，利用$\displaystyle \frac{1}{1-z}$的展开式最终得到如下结果：

\[f(z) = \left\{\begin{matrix} \displaystyle = \frac{1}{1 - z} -\frac{1}{2} \frac{1}{1 - \displaystyle \frac{z}{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty}(1 - \frac{1}{2^{n+1}})z^n, 0 \leq |z| < 1 \\ \displaystyle = -(\frac{1}{z}\frac{1}{1- \displaystyle\frac{1}{z}} + \frac{1}{2}\frac{1}{1 - \displaystyle\frac{z}{2}}) = -\sum_{n = 0}^{\infty}(\frac{1}{z^{n+1}} + \frac{z^n}{2^{n+1}}), 1 < |z| < 2 \\ \displaystyle -\frac{1}{z}\frac{1}{1 - \displaystyle\frac{1}{z}} + \frac{1}{z}\frac{1}{1 - \displaystyle\frac{2}{z}} = \sum_{n = 0}^{+\infty}\frac{2^n - 1}{z^{n+1}}, |z| > 2 \end{matrix} \right.\]

留数

奇点的相关概念和性质

孤立奇点

了解奇点的相关定义对于理解留数的概念非常有帮助。设$z_0$为函数$f(z)$的奇点，并且存在$\delta > 0$，使得$f(z)$在$\mathring{U}(z_0,\delta)$内解析，那么称$z_0$为$f(z)$的孤立奇点。将函数$f(z)$在其孤立奇点的去新邻域中展开为 Laurent 级数，根据展开式的不同情况可以对鼓励奇点进行分类：

如果展开式中不含$(z - z_0)$的负幂项，那么称$z_0$为可去奇点，如$z = 0$之于$f(z)=\left\{\begin{matrix} \displaystyle\frac{\sin z}{z}, z \neq 0 \\ 1, z = 0 \end{matrix}\right.$；
如果展开式中只包含有限个$(z - z_0)$的负幂项，且其中关于$(z-z_0)^{-1}$的最高幂次为$m$，或函数$f(z)$可被表示为$\displaystyle \frac{g(z)}{(z - z_0)^m}$的形式，其中$g(z)$在$z_0$处解析，且$g(z_0)\neq 0$，那么称$z_0$为$m$阶极点；
如果展开式中还有无穷多关于$(z - z_0)$的负幂项，那么称$z_0$为本性奇点。

事实上，根据孤立奇点的定义不难得出以下的等价判断条件（在求解极限过程中可以使用 L'Hospital's 法则）：

$z_0$为$f(z)$的可去奇点$\Leftrightarrow\displaystyle \lim_\limits{z \to z_0}$存在且有限；
$z_0$为$f(z)$的极点$\Leftrightarrow \displaystyle\lim_\limits{z \to z_0}f(z) = \infty$；
$z_0$为$f(z)$的本性奇点$\Leftrightarrow \displaystyle\lim_\limits{z \to z_0}f(z)$不存在且不为$\infty$。

函数在无穷远点的性态需要另行说明。由于该点时复平面外的理想点，故无穷远点总是$f(z)$的奇点。如果函数$f(z)$在无穷远点的去心邻域$R < |z| < \infty$内解析，则称点$\infty$为$f(z)$的孤立奇点。作变换$w = \displaystyle\frac{1}{z}$，可以将扩充$z$平面上的$\infty$去心邻域映射为扩充$w$平面上的原点的去心邻域$0 < |w| < \displaystyle \frac{1}{R}$。若记$f(z) = f(\displaystyle \frac{1}{w}) = \phi(w)$，则$\lim_\limits{z \to \infty}f(z) = \lim_\limits{w \to 0}\phi(w)$，因此函数$f(z)$在无穷远点$z = \infty$的性态可以由函数$\phi(w)$在原点$w = 0$的性态来刻画。

零点与极点的关系

若$f(z)$在$z_0$处解析，而且$f(z) = (z - z_0)^m\phi(z)$，其中$\phi(z)$在$z_0$处解析且$\phi(z_0)\neq 0$，那么称$z = z_0$为$f(z)$的$m$阶零点。事实上，不恒为$0$的解析函数只有孤立零点。

如果$z_0$是$f(z)$的$m$阶零点，那么$z_0$是$\displaystyle \frac{1}{f(z)}$，反之亦然。

设函数$f(z)$在$z_0$处解析，那么以下条件等价：

$z_0$为$f(z)$的$m$阶零点；
$f^{(k)}(z_0) = 0, k \in \{0,1,2,\cdots, m - 1\} \wedge f^{(m)}(z_0) \neq 0$。

留数定理与应用

留数定理

根据之前章节的内容，对于复闭路积分$I = \displaystyle \oint_{\Gamma}f(z)dz$，有：

若$f(z)$在$D$内解析，在$\Gamma$上连续，由 Cauchy 积分定理可知$I = 0$；
若$f(z)$在$D$内有唯一的奇点$z_0$，由秘鲁变形原理可知$I = \displaystyle \oint_{C}f(z)dz$，此时对$f(z)$在$z_0$的某去心邻域内进行 Laurent 展开，并且在等式两端同取关于$C$的正向闭路积分可知$I = 2 \pi i c_{-1}$，其中残留的 Laurent 系数$c_{-1}$就被称为函数$f(z)$在$z_0$处的留数，记作：

\[\text{Res}[f(z), z_0] = c_{-1} = \frac{1}{2\pi i}\oint_{C}f(z)dz\]

设$f(z)$在区域$D$除了有限个孤立奇点$z_1,z_2,\cdots,z_n$外处处解析，$C$为$D$内包含这$n$个奇点的一条正向简单闭曲线，那么：

\[\oint_{C}f(z)dz = 2\pi i \sum_{k = 1}^{n}\text{Res}[f(z), z_k]\] 以上就是留数定理的内容，利用复合闭路定理易证。

设$C$是复平面上的一条简单闭曲线，并且记$D$和$G$分别为是$C$和$C^-$围成的区域，如果区域$D$内的奇点很多，但是区域$G$内的奇点很少，甚至只有无穷远点$\infty$为奇点，那么沿$C^-$上的积分显然比沿$C$的积分简单很多，因此函数在无穷远点的留数时是必要研究的。设函数$f(z)$在圆环域$R < |z| < \infty$解析，$C$是该圆环域中环绕原点的任何一条简单闭曲线，那么$f(z)$在无穷远处的留数被定义为：

\[\text{Res}[f(z), \infty] = \displaystyle \frac{1}{2\pi i}\oint_{C^-}f(z)dz = c_{-1}\] 其中$C^-$应理解为圆环域内环绕$\infty$的任何一条简单闭曲线。与复平面上的点不同，当$\infty$为可去奇点时，$\text{Res}[f(z), \infty]$不一定为$0$，例如将$f(z) = \displaystyle \frac{1}{1-z}$在$|z| > 1$内展开为 Laurent 级数，易得：

\[c_{-1} = -1 \Rrightarrow \text{Res}[f(z), \infty] = 1\]

这些求解复闭路积分的问题可以转化为求解留数的问题，若知晓奇点的类型，则对求解留数更有利：

如果$z_0$为$f(z)$的可去奇点，那么$\text{Res}[f(z), z_0] = 0$；
如果$z_0$为$f(z)$的本性奇点，那么只能按照定义将函数在该点 Laurent 展开；
如果$z_0$为$f(z)$的极点，那么可以利用一些有用的法则求解$c_{-1}$。

下面给出$z_0$为极点的情况下，$\text{Res}[f(z), z_0]$的求法：

法则一：若$z_0$为$f(z)$的一阶极点，那么$\text{Res}[f(z),z_0] = \lim_\limits{z \to z_0}(z-z_0)f(z)$；
法则二：若$z_0$为$f(z)$的$m$阶极点，那么$\text{Res}[f(z),z_0] = \displaystyle \frac{1}{(m-1)!}\lim_\limits{z \to z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\{(z-z_0)^mf(z)\}$；
法则三：若$f(z) = \displaystyle \frac{P(z)}{Q(z)}$，$Q(z_0) = 0$，$Q'(z_0) \neq 0$，$P(z_0) \neq 0$，并且$P(z)$和$Q(z)$在$z_0$解析，那么$z_0$是$f(z)$的简单极点，则$\text{Res}[f(z),z_0] = \displaystyle \frac{P(z_0)}{Q'(z_0)}$；
法则四：$\text{Res}[f(z), \infty] = \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_{C^-}f(z)dz = -\frac{1}{2\pi i}\oint_{c}f(\frac{1}{\epsilon})\frac{1}{\epsilon^2}d\epsilon = -\text{Res}[f(\frac{1}{z})\cdot \frac{1}{z^2}, 0]$，另外，如果$f(z)$在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那么$f(z)$所有奇点（包括$\infty$）的留数总和必定为$0$。

法则一和法则二易证。$f(z)(z-z_0)^{m} = c_{-m} + \cdots + c_{-1}(z-z_0)^{m-1} + \cdots$，式中只含有$(z-z_0)$的正幂次的项，那么：

\[\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\{(z-z_0)^mf(z)\} = (m-1)!c_{-1}\] 令两端$z\to z_0$，同除$(m-1)!$即可得到两个法则。

对于法则三而言，由于$Q(z_0) = 0$和$Q'(z_0) \neq 0$，可知$z_0$时$Q(z)$的一阶零点，从而$z_0$是$\displaystyle \frac{1}{Q(z)}$的一阶极点，并且$P(z_0) \neq 0$，因而$z_0$是$f(z)$的一阶极点，根据法则一可得：

\[\text{Res}[f(z), z_0] = \lim_\limits{z \to z_0}\frac{P(z)}{\displaystyle \frac{Q(z)}{(z-z_0)}} = \frac{P(z_0)}{Q'(z_0)}\]

留数在定积分计算中的应用

某些定积分可以利用留数进行计算，一般的方法为将定积分转化为复平面上的环路积分进行计算。

如图，对于实积分$\displaystyle \int_a^bf(x)dx$，变量$x$定义在闭区间$[a,b]$，记$l_1 = \overline{ab}$，构造闭路曲线$l = l_1 + l_2$。为了将定积分变为闭路积分，闭曲线$l$必须落在被积函数f(x)$对应的复变函数$f(z)$的解析范围内，这时有如下等式：

\[\oint_l f(z) dz = \int_a^bf(x)dx + \int_{l_2}f(z)dz \Rightarrow \int_a^bf(x)dx = \oint_l f(z) dz - \int_{l_2}f(z)dz = I_1 - I_2\]

$I_1$可以利用留数计算，$I_2$容易计算或等于$0$，此时定积分可解。

对于形如$\displaystyle \int_0^{2\pi}R(\cos \theta, \sin \theta)d \theta$的积分，$R(u,v)$是$u,v$的有理数，作变量代换$z = e^{i\theta}$，有：

\[\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} = \frac{z^2+1}{2z}, \sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} = \frac{z^2-1}{2iz},dz = ie^{i\theta}d\theta = iz d\theta\] 实积分化为沿着正向圆周的复积分：

\[\int_0^{2\pi}R(\cos \theta, \sin \theta)d \theta=\oint_{|z| = 1} R(\frac{z^2+1}{2z},\frac{z^2-1}{2iz})\frac{dz}{iz} = \oint_{|z| = 1}f(z)dz\] 其中$f(z)$是$z$的有理函数，且在单位圆周$|z| = 1$上分母不为，根据留数定理最终有：

\[\int_{0}^{2\pi}R(\cos \theta, \sin \theta)d\theta = \oint_{|z| = 1}f(z)dz = 2\pi i\sum_{k=1}^n\text{Res}[f(z),z_k]\] 其中$z_k(k=1,2,\cdots,n)$为圆周$|z| = 1$内的孤立奇点。值得注意，三角函数有理式的定积分只有在积分区间长度为$2\pi$时，才可由变换$z = e^{i\theta}$化为单位圆周上的复闭路积分。

对于形如$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}R(x)dx$的积分，当满足三个条件时，有$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}R(x)dx = 2\pi i \sum_{k}\text{Res}[R(z),z_k]$，其中$\{z_k\}$为上半复平面的所有孤立奇点：

$\displaystyle R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$，其中$P(x)$和$Q(x)$为多项式；
分母$Q(x)$的次数比分子$P(x)$的次数至少高两次；
分母$Q(x)$没有实零点。

事实上，设$R(z) = \displaystyle \frac{z^n + a_1 z^{n-1} + \cdots a_n}{z^m + b_1 z^{m-1} + \cdots b_m}, m - n \geq 2$，显然$R(z)$只有有限个孤立的极点，取积分路径如图所示，其中$C_R$是以原点为中心，$R$为半径的上半平面的半圆周。取$R$适当大，使得$R(z)$所有的在上半平面的所有极点都被包在这闭路积分曲线$C = [-R,R] + C_R$内。

因此有：

\[\oint_{C}R(z)dz = \int_{-R}^{R}R(x)dx + \int_{C_R}R(z)dz = 2\pi i\sum\text{Res}[R(z), z_k]\] 根据闭路变形原理，该等式不因$C_R$的半径$R$的不断增大而有所改变，即：

\[\lim_\limits{R \to +\infty}[\int_{-R}^{R}R(x)dx + \int_{C_R}R(z)dz] = 2\pi i\sum\text{Res}[R(z), z_k]\] 现需对$\displaystyle \int_{C_R}R(z)dz$进行估计，先有：

\[|R(z)| = \frac{1}{|z|^{m-n}}\frac{|1+a_1z^{-1}+\cdots +a_n z^{-n}|}{|1+b_1z^{-1}+\cdots +b_m z^{-m}|} \leq \frac{1}{|z|^{m-n}}\frac{1+|a_1z^{-1}+\cdots +a_n z^{-n}|}{1-|b_1z^{-1}+\cdots +b_m z^{-m}|}\] 当$|z|$充分大时,总有：

\[|a_1z^{-1}+\cdots +a_n z^{-n}| < \frac{1}{10}, |b_1z^{-1}+\cdots +b_m z^{-m}| < \frac{1}{10}\] 再由$m-n \geq 2$，有：

\[|R(z)| < \frac{1}{|z|^{m-n}} \cdot \frac{1 + \displaystyle \frac{1}{10}}{1 - \displaystyle \frac{1}{10}} < \frac{2}{|z|^2}\] 最终有：

\[\int_{C_R}R(z)dz \leq \int_{C_R}|R(z)|ds \leq \frac{2}{R^2}\pi R < \frac{2\pi}{R}\] 令$R\to +\infty$，则$\displaystyle \int_{C_R}R(z)dz \to 0$，所以：

\[\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}R(x)dx = 2\pi i \sum_{k}\text{Res}[R(z),z_k]\]

对于形如$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}R(x)e^{iax}dx(a > 0)$的积分，当满足三个条件时：

$\displaystyle R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$，其中$P(x)$和$Q(x)$为多项式；
分母$Q(x)$的次数比分子$P(x)$的次数至少高一次；
分母$Q(x)$没有实零点，

有$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}R(x)e^{iax}dx = 2\pi i \sum_{k}\text{Res}[R(z)e^{iaz},z_k]$，其中$\{z_k\}$为上半复平面的所有孤立奇点。注意到：

\[\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}R(x)dx = 2\pi i \sum_{k}\text{Res}[R(z)e^{iaz},z_k] = A+iB\] 由欧拉公式有$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}R(x)\cos ax dx = A$和$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}R(x)\sin ax dx = B$，即要求上述类型的广义定积分，可转化为形如$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}R(x)e^{iax}dx(a > 0)$的复积分然后再用留数求解。

共形映射

之前的内容从数的角度对解析函数进行了研究，本章将从形的角度探究解析函数的相关性质。

本章不再另作笔记，可以查阅教材。

Fourier 变换

周期函数的 Fourier 级数

三角函数系的正交性

不妨记：

\[S_{\omega_0}=\{1, \sin \omega_0 t, \cdots, \sin n \omega_0 t,\cdots, \cos \omega_0 t , \cdots, \cos n \omega_0 t, \cdots\},n\in \text{N}\]

那么$\forall f(t), g(t) \in S_{\omega_0}, f(t) \neq g(t) \Leftrightarrow \displaystyle \int_{t_0}^{t_0+T}f(t)g(t)dt=0$，其中$T = \displaystyle\frac{2\pi}{\omega_0}$，这一性质被称为三角函数系的正交性，这一性质在求解 Fourier 级数被使用。

Fourier 级数的三角形式

记$f_{T}(t)$是以$T$为周期的函数，若函数在$[\displaystyle -\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$满足 Dirichlet 条件：

连续或只有有限个第一类间断点；
只有有限个极值点，

令$\omega_0 = \displaystyle \frac{2\pi}{T}$（称为基频），则在$f_T(t)$的连续点处，有；

\[f_{T}(t)=\displaystyle \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos n\omega_0 t+b_n \sin n \omega_0 t)\] 在间断点处，上式左端为$\displaystyle \frac{1}{2}[f_T(t+0)+f_T(t-0)]$，这就是 Fourier 级数的三角形式，式中的各项系数可由如下公式求出：

\[a_n=\displaystyle \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_T(t) \cos n\omega_0 tdt,n=0,1,2,\cdots\] \[b_n=\displaystyle\frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_T(t) \sin n\omega_0 tdt,n=1,2,\cdots\] 注意$b_{-n}=-b_n$，这一点会在求解傅里叶级数的复指数形式中出现。

事实上，还可以对 Fourier 级数的三角形式进行改写：

\[A_0 = \displaystyle \frac{a_0}{2},$A_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2},\cos \theta_n = \frac{a_n}{A_n}, \sin \theta = \frac{-b_n}{A_n}\] \[\Rightarrow f_T(t) = A_0 + \sum_{n = 1}^{\infty}A_n\cos(n \omega_0 t + \theta_n)\] 其中，振幅$A_n$反映了在信号$f_T(t)$中频率为$n\omega_0$的简谐波所占有的份额，相位$\theta_n$反映了信号$f_T(t)$中频率为$n\omega_0$的简谐波沿着时间轴移动的大小，这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特征。这说明了周期信号重要的两个特点：

周期信号可以分解为一些列固定频率的简谐波之和，这些简谐波的角频率分别为基频$\omega_0$的倍数；
任何一个周期为$T$的周期信号$f_T(t)$并不包含所有的频率成分，其频率是以基频$\omega_0$为间隔离散地取值的。

Fourier 级数的指数形式

利用复指数的性质可知：

\[\forall \theta \in \text{R}, e^{j\theta}=\cos\theta + j\sin\theta \Rightarrow \sin \theta =\displaystyle \frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2j},\cos \theta = \displaystyle \frac{e^{j\theta}+e^{-j\theta}}{2}\]

对 Fourire 级数的三角形式中使用欧拉公式可得：

\[f_{T}(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{a_n-jb_n}{2}e^{jn\omega_0 t} + \frac{a_n+jb_n}{2}e^{-jn \omega_0 t})\]

若令$c_0=\displaystyle\frac{a_0}{2}=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_{T}(t)dt$及$c_n\displaystyle=\frac{a_n-jb_n}{2}=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_{T}(t)e^{-jn \omega t}dt$，可得到傅里叶级数得复指数形式：

\[f_{T}(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{jn\omega_0 t}\]

对于 Fourier 级数的指数形式有三点说明：

对于给定的函数，其 Fourier 级数的展开式是唯一的；
在计算展开系数$c_n$时，可以在任意一个长度为$T$的区间上计算其中的积分；
利用解析延拓，可以将结论运用在只定义在某个有限区间上的函数，换言之，定义在有限区间上的函数，同样可以展开为 Fourier 级数。

类似三角形式，复指数形式也可以考虑其几何意义，不难得出$|c_n|$是振幅、$\text{arg}c_n$是相位的结论。

Fourier 级数的物理含义

对于复指数形式的级数而言，称$|c_n|$为振幅谱，$\text{arg}c_n$为相位谱，称$c_n$为频谱。频谱图将$|c_n|$、$\text{arg}c_n$与角频率$n\omega_0$的关系画成图形。

非周期函数的 Fourier 变换

Fourier 积分公式与 Fourier 变换的定义

借助 Fourier 级数的展开，人们能够利用频谱分析的手段对周期信号进行分析，然而频谱分析的手段对实际问题中存在着的大量的非周期函数却是无效的。因此引入 Fourier 积分，考虑对非周期函数进行频谱分析。设$f(t)$满足如下条件：

在$(-\infty, +\infty)$上的任何一个有限区间都满足 Dirichlet 条件；
绝对可积，

则在$f(t)$的连续点处有：

\[f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\bigg[\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt \bigg]e^{j\omega t}d\omega\] 在间断点处，上式左端为$\displaystyle \frac{1}{2}[f(t+0)+f(t-0)]$，这就是 Fourier 级数的三角形式。

以下推导从形式上得到了函数的 Fourier 积分。

\[f_{T}(t)=\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{j n \omega t}=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{jn\omega t}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_{T}(t)e^{-jn\omega t}dt,\omega_n=n\omega_0\]

令$\Delta \omega_n=\omega_{n+1}-\omega_{n}$，那么$\Delta \omega_n=\displaystyle\frac{2\pi}{T}\to0 \Rightarrow T\to +\infty$，记$f(t)=\lim_\limits{T\to+\infty}f_T(t)$，即可得到 Fourier 积分：

\[f(t)=\lim_\limits{\Delta \omega_n \to 0} \displaystyle\frac{1}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{j \omega_n t} \Delta \omega_n \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-j n \omega t}d t=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\bigg[\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt \bigg]e^{j\omega t}d\omega\]

事实上，函数$f(t)$的 Fourier 积分实际上是对函数先后进行了 Fourier 变换和 Fourier 逆变换，即：

\[F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)]=\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt\]

\[f(t)=\mathcal{F}^{-1}[F(\omega)] = \displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d \omega\] 其中$F(\omega)$被称为象函数，$f(t)$被称为象原函数，称$f(t) \leftrightarrow F(\omega)$为 Fourier 变换对。注意上述变换中的广义积分都取 Cauchy 主值，因此进行相关计算时要利用好 Euler 公式和奇偶性。

Fourier 变换的物理含义

与周期函数的 Fourier 级数的物理意义一样，非周期函数的 Fourier 变换同样刻画了频谱特性，不同之处在于非周期函数的频谱是连续取值的。象函数$F(\omega)$反映的是函数$f(t)$中各频率分量的分布密度，它是复值函数，故可以表示为$F(\omega) = |F(\omega)|e^{j \text{arg}F(\omega)}$。称$F(\omega)$为频谱密度函数（简称为连续频谱或者频谱）；称$|F(\omega)|$为振幅谱；称$\text{arg}F(\omega)$为相位谱。

单位冲激函数

基本概念

在如数学、物理学以及实际工程技术中，一些常用的函数都不能进行 Fourier 变换；并且有很多瞬时物理量无法用通常的函数进行描述，例如质点等等。为此引入单位冲激函数（也称 Dirac 函数或$\delta$函数）$\delta(t)$：

当$t \neq 0$时，$\delta = 0$；
$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt = 1$。

关于 Dirac 函数，应当注意以下两点：

该函数并非是经典意义下的函数，因此通常称之为广义函数或者奇异函数；
它不能用通常意义下的映射来理解设使用，而总是通过它的性质来使用它。

性质

Dirac 函数具有如下性质：

筛选性质 设函数$f(t)$定义在$\text{R}$上的有界函数，且在$t=t_0$处连续，则： \[\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-t_0)f(t)dt = f(t_0)\]
对称性质 Dirac 函数是偶函数；
积分性质 Heaviside 函数被定义为$u(t) = \left\{\begin{matrix} 1, t > 0 \\ 0, t < 0 \end{matrix}\right.$，那么$\displaystyle \int_{-\infty}^t\delta(t)dt = u(t)$，反过来，等式两端对$t$求导有$u'(t) = \delta(t)$。

图形表示

通常用一条从原点出发的、长度为$1$的有向线段来表示，有向线段的长度被称为冲激强度。

Dirac 函数的 Fourier 变换

易得 Fourier 变换对$\delta(t) \leftrightarrow 1$，可知单位冲激函数包含所有的频率成分，且它们具有相同的幅度，故称此频谱图为均匀频谱或白色频谱。

并且可以得到重要公式：

\[\int_{-\infty}^{+\infty}e^{j\omega t}d\omega = 2\pi \delta(t)\]

在$\delta$函数的 Fourier 变换中，其广义积分是根据$\delta$函数的筛选性质直接给出的，而不是按照通常的积分方式得到的，这样的变换被称为广义 Fourier 变换。在使用$\delta$函数时，应当牢记三个性质和一个上述重要公式。

Fourier 变换的性质

线性性质

由积分的线性显而易见。

位移性质

设$t_0$和$\omega_0$都是常数，则：

时移性质 $\mathcal{F}[f(t\pm t_0)]=e^{\pm j\omega t_0}\mathcal{F}[f(t)]$；
频移性质 $\mathcal{F}^{-1}[f(\omega \pm \omega_0)]=f(t)e^{\mp j\omega_0 t}$。

相似性质

设$a$为非零常数，则$\mathcal{F}[f(at)] = \displaystyle\frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a})$。

微分性质

若$\lim\limits_{|t|\to \infty}f(t)=0$，那么$\mathcal{F}[f'(t)]=j\omega \mathcal{F}[f(t)]=j\omega F(\omega)$。

\[\mathcal{F}[f'(t)]=\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f'(t)e^{-j\omega t}dt=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-j\omega t}d[f(t)]=j\omega\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt=j\omega\mathcal{F}[f(t)]\]

还可以得到象函数导数的表达式，下式经常用于求解$\mathcal{F}[tf(t)]$。

\[\displaystyle \frac{d}{d \omega}F(\omega)=\frac{d}{d\omega}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt=-j\int_{-\infty}^{+\infty}tf(t)e^{-j\omega t}dt=-j \mathcal{F}[tf(t)]\] 以下是两个常用结论。

\[\mathcal{F}[f^{(n)}(t)]=(j\omega)^n\mathcal{F}[f(t)]\]

\[\displaystyle \frac{d^n}{d\omega^n}F(\omega)=(-j)^n\mathcal{F}[t^nf(t)] \Leftrightarrow \mathcal{F}[t^nf(t)]=j^n\frac{d^n}{d\omega^n}F(\omega)\]

积分性质

若$\displaystyle\lim_\limits{t\to +\infty}\int_{-\infty}^tf(u)du=0$，那么：

\[\mathcal{F}[\displaystyle \int_{-\infty}^t f(u)du]=\frac{1}{j\omega}\mathcal{F}[f(t)]\]

Parseval 等式

*本节中所有上划线均代表复数共轭。

记$F(\omega)=\mathcal{F}[f(t)]$，那么有：

\[\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f^2(t)dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|F(\omega)|^2d\omega\] 该性质也被称为能量积分性质。

为了证明上式，首先需要证明傅里叶变换的乘法性质。记$F_i(\omega)=\mathcal{F}[f_i(t)], i=1,2$，那么：

\[\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f_1(t)\overline{f_2(t)}dt=\int_{-\infty}^{+\infty}[\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F_1(\omega)e^{j\omega t}d\omega ]\overline{f_2(t)}dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F_1(\omega)[\int_{-\infty}^{+\infty}\overline{f_2(t)}e^{j \omega t}dt]d\omega\]

$=\displaystyle \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F_{1}(\omega)[\int _{-\infty}^{+\infty}\overline{f_2(t)e^{-j\omega t}} dt]d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F_1(\omega)\overline{F_2(\omega)}d\omega$ 上式就是是傅里叶变换的乘法性质。令$f_1(t)=f_2(t)=f(t)$，那么有能量积分：

\[\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}[f(t)]^2dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |F(\omega)|^2 d\omega\]

例如，可以利用能量积分求解$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}(\frac{\sin t}{t})^2dt$。

\[\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}(\frac{\sin t}{t})^2dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|\mathcal{F}(\frac{\sin t}{t})|^2dt\]

\[\displaystyle\mathcal{F}(\frac{\sin t}{t})=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} e^{-j\omega t} dt=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin t \cos \omega t}{t}dt\]

又 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin t \cos \omega t}{t}dt=\left\{\begin{aligned}\pi,|\omega|<1\\0,\text{else}\end{aligned}\right.$，因此$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}(\frac{\sin t}{t})^2dt=\pi$。

卷积性质

设$\mathcal{F}[f_i(t)] = F_i(\omega), i =1,2$，那么：

$\mathcal{F}[f_1(t) * f_2(t)] = F_1(\omega) * F_2(\omega)$；
$\mathcal{F}^{-1}[f_1(t) * f_2(t)] = 2\pi f_1(\omega) * f_2(\omega)$。

下面证明$\mathcal{F}[f_1(t) * f_2(t)] = F_1(\omega) * F_2(\omega)$：

\[\mathcal{F}[f_1(t) * f_2(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty}[\int_{-\infty}^{+\infty} f_1(\tau)f_2(t - \tau) d\tau]e^{-j\omega t}dt \]

\[= \int_{-\infty}^{+\infty}[\int_{-\infty}^{+\infty} f_1(\tau)f_2(t - \tau) dt]e^{-j\omega t}d\tau\]

\[= \int_{-\infty}^{+\infty}f_1(\tau)e^{-j\omega \tau}[\int_{-\infty}^{+\infty} f_2(t - \tau) e^{-j\omega(t-\tau)} dt]d\tau = F_1(\omega) * F_2(\omega)\] 另外一个性质同理可证。

Fourier 变换的例题

例1 求矩形密度函数$f(t) = \left\{\begin{matrix}1, |t| \leq a \\ 0, |t| > a \end{matrix}\right.(a > 0)$的 Fourier 变换以及其 Fourier 积分表达式。

\[F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)] = \int_{-a}^{a}e^{-j\omega t}dt = \frac{e^{j\omega a} - e^{-j\omega a}}{j\omega} = \frac{2}{\omega}\sin a \omega =2a \frac{\sin a\omega}{a\omega}\] 振幅谱为$\displaystyle |F(\omega)| = 2a|\frac{\sin a\omega}{a\omega}|$，相位谱为$\text{arg}F(\omega )=\left\{\begin{matrix}\displaystyle 0, \frac{2n\pi}{a} \leq |\omega| \leq \frac{(2n+1)\pi}{a} \\ \pi, \text{else}\end{matrix}\right.$，函数的 Fourier 积分表达式为：

\[f(t) =\mathcal{F}^{-1}[f(\omega)]= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega =\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin a\omega \cos \omega t}{\omega}d\omega = \left\{\begin{matrix}1,|t|<a \\ \displaystyle \frac{1}{2}, |t| = a \\ 0, |t| > a\end{matrix}\right.\] 在上式中令$t = 0$，可得 Dirichlet 积分的结果：

\[\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin ax}{x}dx = \pi(a > 0)\]

例2 已知函数$f(t)$的频谱为$F(\omega) = \displaystyle \frac{2}{j\omega}$，求$f(t)$。

\[f(t) = \mathcal{F}^{-1}[F(\omega)] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d \omega = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin \omega t}{\omega}d\omega = \left\{\begin{matrix} 1, t> 0 \\ 0, t = 0 \\ -1, t < 0 \end{matrix}\right.\] 由这个例子可得 Fourier 变换对$\text{sgn}t \leftrightarrow \displaystyle\frac{2}{j\omega}$，这也是一个常用的结果，需要记住。

例3 已知函数$f(t)$的频谱为$F(\omega) = \left\{\begin{matrix} 1, |\omega| \leq a\\ 0, |\omega| > a \end{matrix}\right.(a>0)$，求$f(t)$。

\[f(t) = \mathcal{F}[F(\omega)] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega = \frac{\sin at}{\pi t}\]

例4 分别求$f_1(t) =1$与$f_2(t) = t$的 Fourier 变换。

\[F_1(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_1(t)e^{-j\omega t}dt = 2\pi \delta(\omega)\] 事实上，在上式两端对$\omega$求导有：

\[-j\int_{-\infty}^{+\infty}te^{-j\omega t}dt = 2\pi \delta'(t)\Rightarrow F_2(\omega) = 2j\omega\delta'(\omega)\]

例5 求 Heaviside 的 Fourier 变换。

事实上，$u(t) = \displaystyle \frac{1}{2}(\text{sgn}t + 1)$，由 Fourier 变换的性质易得：

\[F(\omega) = \mathcal{F}[u(t)] = \frac{1}{j\omega} + \pi \delta(t)\]

例6 分别求$f_1(t) =e^{j\omega_0 t}$与$f_2(t) = \cos \omega_0 t$的 Fourier 变换。

\[F_1(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{j(\omega_0 - \omega)t}dt =2\pi \delta(\omega_0 - \omega) = 2\pi \delta(\omega - \omega_0)\] 由欧拉公式及 Fourier 变换的性质易得：

\[F_2(\omega) = \frac{1}{2}[\mathcal{F}(e^{j\omega_0t})+\mathcal{F}(-j\omega_0t)] = \pi[\delta(\omega - \omega_0)+\delta(\omega + \omega_0)]\] 又得到一个常用的变换对$e^{j\omega_0 t}\leftrightarrow 2\pi \delta(\omega - \omega_0)$。

例7 求函数$h(t)$与$\delta(t)$的卷积。

\[h(t)*\delta(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)\delta(t-\tau)d\tau = h(t)\] 这说明了卷积运算的单位元是$\delta(t)$。一般地，有$h(t)*\delta(t-t_0) =h(t-t_0)$。

Lapalce 变换

Laplace 变换的概念

实际工程问题中，许多以时间$t$为自变量的函数在$t<0$时为$0$或者没有定义，因此对这些函数进行 Fourier 变换时，不能或者没有必要在整个实轴上进行，因此考虑对 Fourier 变换进行改造，具体方法如下：

将$f(t)$与$u(t)$相乘，使得函数在$t < 0$时恒被定义为$0$；
再乘以指数衰减函数$e^{-\beta t}(\beta > 0)$，使得函数在$t > 0$时尽快衰减下来，以满足 Fourier 变换的的条件。

于是得到：

\[\mathcal{F}[f(t)u(t)e^{-\beta t}] = \int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-(\beta + j \omega)t}dt\] 将$\beta + j\omega$记作$s$，那么得到一种新的变换：

\[F(s)=\mathcal{L}[f(t)]=\displaystyle \int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt\] 值得注意的是，上述广义积分结果存在的关键是变量$s$的实部$\beta$足够大。这时可以给出 Laplace 变换的严格定义。设函数$f(t)$是定义在$(0,+\infty)$的实变函数，若对于复参数$s =\beta +j\omega$，上式积分在复平面某一区域收敛，那么称$F(s)$是$f(t)$的 Laplace 变换或象函数，记作$F(s) = \mathcal{L}[f(t)]$，相应地称$f(t)$是$F(s)$的 Laplace 逆变换或象原函数。

在进行积分时，要确定$s$的范围以保证积分存在，下面给出象函数的存在定理。设函数$f(t)$在$t\geq 0$时满足以下两个条件，则象函数$F(s)$一定在半平面$\text{Re}(s) > c$上存在且解析。

在任何的有限区间上分段连续；
具有有限的增长性，即存在常数$c$及$M > 0$使得$|f(t)| \leq Me^{ct}$（其中$c$被称为$f(t)$的增长指数）。

根据存在定理，可以知道：

象函数的存在域一般是一个右半平面，即只需复数$s$的实部足够大即可，因此在进行 Laplace 变换时，通常略去存在域，只在非常必要时才会特别注明；
在 Laplace 变换中的函数通常约定在$t<0$时恒为$0$，即函数$f(t)$等价于$f(t)u(t)$。

Laplace 变换的性质

线性性质

由积分的线性显而易见。

相似性质

设$a$为正实数，则$\mathcal{L}[f(at)] = \displaystyle\frac{1}{a}F(\frac{s}{a})$。

延迟性质和位移性质

延迟性质

对任何一负实数有$\tau$有：

\[\mathcal{L}[f(t-\tau)u(t-\tau)]=e^{-s\tau}F(s)\Leftrightarrow \mathcal{L}^{-1}[e^{-s\tau}F(s)]=f(t-\tau)u(t-\tau)\]

位移性质

设$a$为一复常数，则$\mathcal{L}[e^{at}f(t)] = F(s- a)$。

微分性质

$\mathcal{L}[f'(t)]=s\mathcal{L}[f(t)] - f(0) = sF(s) - f(0)$，证明如下：

\[\mathcal{L}[f'(t)] = [f(t)e^{-st}]^{+\infty}_0+s\int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt\] 由于$|f(t)| \leq Me^{ct}$，故$|f(t)e^{-st}| \leq e^{-[\text{Re}(s) - c]t}$，因此当$\text{Re}(s)=\beta > c$时，有：

\[\lim_\limits{t \to +\infty}f(t)e^{-st} = 0\Rightarrow \mathcal{L}[f'(t)] sF(s) - f(0)\] 一般地有：

\[\mathcal{L}[f^{(n)}(t)] =s^nF(s)- \sum_{k=0}^{n-1}s^{n-k-1}f^{(k)}(0)\] 其中，$f^{(k)}(0)$应当理解为$\lim_\limits{t \to 0^+}f^{(k)}(t)$。这一性质常用于微分方程的初值问题。

类似地，可以得到象函数导数的表达式，下式经常用于求解$\mathcal{F}[tf(t)]$。

\[\displaystyle \frac{d}{d s}L(s)=\frac{d}{ds}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-s t}dt=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial s}[f(t)e^{-s t}]dt=- \mathcal{L}[tf(t)]\] 一般地有：

\[\displaystyle \frac{d^n}{ds^n}F(\omega)=(-1)^n\mathcal{L}[t^nf(t)]\]

积分性质

$\displaystyle\mathcal{L}[\int_{0}^tf(u)du]=\frac{F(s)}{s}$，证明如下：

\[\displaystyle\mathcal{L}[\int_{0}^tf(u)du]=\int_{0}^{+\infty}[\int_{0}^{t}f(u)du]e^{-st}dt=\int_{0}^{+\infty}[\int^{+\infty}_{u}f(u)dt]e^{-st}du\]

\[=\int_{0}^{+\infty}[\int^{+\infty}_{u}e^{-st}dt]f(u)du = \frac{1}{s}\int_{0}^{+\infty}[-e^{-st}]_{u}^{+\infty}f(u)du=\frac{F(s)}{s}\] 或者还可以利用微分性质进行证明，一般地有：

\[\displaystyle\mathcal{L}[\int_0^{t}dt_1\cdots\int_{0}^{t}f(t_n)dt_n]=\frac{F(s)}{s^n}\]

对于象函数$F(s)$，则$\displaystyle \int_{s}^{+\infty}F(u)du = \mathcal{L}[\frac{f(t)}{t}]$，一般地有：

\[\displaystyle \int_{s}^{+\infty}d u_1\cdots\int_{s}^{+\infty}F(u_n)du_n = \mathcal{L}[\frac{f(t)}{t^n}]\]

利用积分性质，可以求解广义积分。

卷积性质

若$t<0$时，$f_1(t)=f_2(t)=0$，则$f_1(t)*f_2(t) = \displaystyle \int_{0}^{t}f_1(\tau)f_2(t-\tau)dt(t\geq 0)$，这样的卷积依然满足交换律、分配律和结合律等性质。设$\mathcal{L}[f_i(t)] = F_i(s), i =1,2$，那么：

\[\mathcal{L}[f_1(t) * f_2(t)] = F_1(s)F_2(s) \Leftrightarrow \mathcal{L}^{-1}[F_1(s)F_2(s)] = f_1(t)*f_2(t)\]

Laplace 逆变换

反演公式

根据 Laplace 变换与 Fourier 变换的关系可知，函数$f(t)$的 Laplace 变换$F(s)$就是函数$f(t)u(t)e^{-\beta t}$的 Fourier 变换，即：

\[F(s) = F(\beta + j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}[f(t)u(t)e^{-\beta t}]e^{-j\omega t}dt\]

根据 Fourier 逆变换，在$f(t)$的连续点有：

\[f(t)u(t)e^{-\beta t} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\beta + j\omega)e^{j\omega t}d\omega \Rightarrow f(t) = \frac{1}{2\pi j}\int_{\beta-j\infty}^{\beta+j\infty}F(s)e^{st}ds(t>0)\]

计算方法

对于 Laplace 逆变换，一般采用留数法和查表法进行计算。

留数法

设函数$F(s)$除在半平面$\text{Re}(s) \leq c$内有有限个孤立奇点$s_1,s_2,\cdots,s_n$外都是解析的，且当$s\to \infty$时，$F(s)\to 0$，则：

\[f(t) = \frac{1}{2\pi j}\int_{\beta-j\infty}^{\beta+j\infty}F(s)e^{st}ds = \sum_{k=1}^{n}\text{Res}[F(s)e^{st},s_k](t>0)\]

如图，作闭曲线$C = L + C_R$，当$R$充分大时，可以使得$F(s)e^{st}$的所有奇点都被包含在$C$包含的区域内，由留数定理有：

\[\oint_{C}F(s)e^{st}ds = 2\pi j \sum_{k=1}^{n}\text{Res}[F(s)e^{st}, s_k] = \int_{L}F(s)e^{st}ds + \int_{C_R}F(s)e^{st}ds\]

当$t > 0$时，$\displaystyle \lim_\limits{R \to +\infty}\int_{C_R}F(s)e^{st}ds = 0$，因此有：

\[f(t) = \frac{1}{2\pi j}\int_{\beta-j\infty}^{\beta+j\infty}F(s)e^{st}ds = \sum_{k=1}^{n}\text{Res}[F(s)e^{st},s_k](t>0)\]

查表法

大多数情况下，象函数常常为真分式形式$\displaystyle F(s) = \frac{P(s)}{Q(s)}$，其中$P(s)$和$Q(s)$都是实系数多项式。由于真分式总能进行部分分式分解，因此利用查表法很容易得到象原函数。

Laplace 变换的例题

例1 求函数$f(t)=t\sin \omega t(t > 0)$的 Laplace 变换。

易得$\mathcal{L}[\sin \omega t] = \displaystyle \frac{\omega}{\omega^2 + s^2}$，利用象原函数的微分性质有：

\[\mathcal{L}[t\sin \omega t] = -\frac{d}{ds}[\displaystyle \frac{\omega}{\omega^2 + s^2}] = \frac{2\omega s}{(s^2+\omega^2)^2}\]

例2 求函数$f(t) = te^{-3t}\sin 2t$的 Laplace 变换。

易得$\mathcal{L}[\sin 2 t] = \displaystyle \frac{2}{4 + s^2}$，利用象原函数的微分性质有：

\[\mathcal{L}[t\sin 2t] = -\frac{d}{ds}[\displaystyle \frac{2}{4 + s^2}] = \frac{4 s}{(s^2+4)^2}\] 再利用位移性质有：

\[\mathcal{L}[te^{-3t}\sin 2t] = \frac{4 (s+3)}{[(s+3)^2+4]^2}\]

例3 求$I = \displaystyle \int_{0}^{+\infty}e^{-3t}\cos 2t dt$。

\[\mathcal{L}[\cos 2t] =\int_{0}^{+\infty} e^{-st}\cos 2t dt = \frac{s}{s^2+4}\Rightarrow I = \frac{3}{13}\]

例4 求$I = \displaystyle \int_{0}^{+\infty}\frac{1-\cos t}{t}e^{-t}dt$。

\[\mathcal{L}[1-\cos t] =\frac{1}{s} - \frac{s}{s^2 + 1}\Rightarrow \mathcal{L}[\frac{1-\cos t}{t}] = \frac{1}{2}\ln\frac{s^2+1}{s^2}\] 那么：

\[\int_{0}^{+\infty}\frac{1-\cos t}{t}e^{-t}dt = \frac{1}{2}\ln 2\]

例5 已知$F(s) = \displaystyle \frac{s^2}{(s^2+1)^2}$，求$f(t)=\mathcal{L}^{-1}[F(s)]$。

\[F(s) = \displaystyle \frac{s^2}{(s^2+1)^2} = \frac{s}{s^2+1}\cdot \frac{s}{s^2+1}\Rightarrow f(t) = \cos t * \cos t = \frac{1}{2}(t\cos t + \sin t)\]

例6 已知$F(s) = \displaystyle \frac{5s-1}{(s+1)(s-2)}$，用留数法求$f(t) = \mathcal{L}^{-1}[F(s)]$。

易得$s_-1=1$和$s_2 = 2$是$F(s)$的两个一阶极点，且：

\[\text{Res}[f(s)e^{st}, s_1] = \frac{5s-1}{s-2}e^{st}|_{s=-1} = 2e^{-t}\]

\[\text{Res}[f(s)e^{st}, s_2] = \frac{5s-1}{s+1}e^{st}|_{s=2} = 3e^{2t}\] 故$f(t) = 2e^{-t}+3e^{2t}$。

例7 利用 Laplace 变换求解如下二阶微分方程：

\[y''(t)+\omega^2y(t) = 0,y(0) = 0, y'(0) = \omega\]

令$Y(s) = \mathcal{L}[y(t)]$，原方程两边同取 Laplace 变换有：

\[s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)+\omega^2Y(s) = 0 \Rightarrow F(s) = \frac{\omega}{s^2+\omega^2}\] 易得$y(t) = \sin \omega t$。

常用结论

反常积分

\[\displaystyle \int_{0}^{+\infty}x^ne^{-\lambda x}dx=\frac{n!}{\lambda^{n+1}}(\lambda > 0, n \in \text{N}^+)\]

\[\displaystyle \int_{0}^{+\infty}e^{-\lambda x} \cos ax dx = \frac{\lambda}{\lambda^2 + a^2}(\lambda > 0)\]

\[\displaystyle \int_{0}^{+\infty}e^{-\lambda x} \sin ax dx = \frac{a}{\lambda^2+a^2}(\lambda > 0)\]

$\delta(t)$的性质

\[\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt=1\]

\[\displaystyle \delta(t) := \lim_\limits{\epsilon \to 0} \delta_{\epsilon}(t)\]

\[\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t)dt = f(0)\]

\[\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\delta^{(n)}(t)f(t)dt=(-1)^nf^{(n)}(0)\]

常用的 Fourier 变换

\[\displaystyle \mathcal{F}[u(t)]=\frac{1}{j \omega} + \pi \delta(\omega)\]

\[\displaystyle \mathcal{F}[\delta(t)] = 1\]

\[\mathcal{F}[e^{j\omega_0t}]=2\pi\delta(\omega - \omega_0) \Rightarrow \mathcal{F}(1)=2\pi\delta(\omega)\]

\[\mathcal{F}[\sin \omega_0 t]=\pi j[\delta(\omega+\omega_0)-\delta(\omega-\omega_0)]\]

\[\mathcal{F}[\cos \omega_0t]=\pi[\delta(\omega+\omega_0)+\delta(\omega-\omega_0)]\]

\[\mathcal{F}[e^{j\omega_0 t}]=\mathcal{F}(\cos \omega_0 t) + j \mathcal{F}(\sin \omega_o t)\]

常用的 Laplace 变换

\[\mathcal{L}[1] = \displaystyle \frac{1}{s}\]

\[\mathcal{L}[t^m] = \displaystyle \frac{\Gamma(m + 1)}{s^{m+1}}\]

\[\mathcal{L}[e^at] = \displaystyle \frac{1}{s - a}\]

\[\mathcal{L}[\cos at] = \displaystyle \frac{s}{s^2+a^2}\]

\[\mathcal{L}[\sin at] = \displaystyle \frac{a}{s^2+a^2}\]

常用的 Laplace 逆变换

注意以下等式中右侧的函数定义域默认为$t > 0$。

\[\mathcal{L}^{-1}[\frac{1}{s}] = 1\]

\[\mathcal{L}^{-1}[\frac{\Gamma(m+1)}{s^{m+1}}] = t^m\]

\[\mathcal{L}^{-1}[\frac{s}{s^2+b^2}] = \cos bt\]

\[\mathcal{L}^{-1}[\frac{b}{s^2+b^2}] = \sin bt\]

\[\mathcal{L}^{-1}[1] = \delta(t)\]

\[\mathcal{L}^{-1}[\frac{1}{s-a}] = e^{at}\]

\[\mathcal{L}^{-1}[\frac{\Gamma(m+1)}{(s-a)^{m+1}}] = t^me^{at}\]

\[\mathcal{L}^{-1}[\frac{s-a}{(s-a)^2 + b^2}] = e^{at}\cos bt\]

\[\mathcal{L}^{-1}[\frac{b}{(s-a)^2 + b^2}] = e^{at}\sin bt\]

其他常用的恒等式

\[\sin3t=3\sin t - 4\sin^3t\]

\[\omega^4+4=[(\omega+1)^2+1][(\omega-1)^2+1]\]

解题技巧

对形如$e^{j \omega t}$函数的积分时，当积分下限为$-\infty$考虑$\delta(\omega - \omega_0)$；
广义函数在证明相同的时候考虑使用$\text{R}$上的积分；

$\delta_1(x)=\delta_2(x) \Leftrightarrow \displaystyle \int_{R}\delta_1(x)dx=\int_{R}\delta_2(x)dx$

在证明$\delta(t)$的相关性质时，要注意$f(t)$需要是无穷次可微函数。

参考资料

【上海交通大学】姚卫红《复变函数与概率》；
复变函数与积分变换（华中科技大学）；
《复变函数（第四版）》，西安交通大学高等数学教研室；
《积分变换（第五版）》，东南大学数学系；
《复变函数与积分变换》，南开大学出版社。

复变函数与积分变换自学笔记

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复变函数

复数的一些性质

棣莫弗定理

区域

平面曲线实数形式和复数形式之间的转换

复变函数

复变函数的导数、微分与解析性

常见的复变函数及其定义

复积分

复积分的定义和性质

复积分的计算方法

Cauchy 积分定理和公式

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幂级数

基本概念及 Aebl 定理

基本概念

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奇点的相关概念和性质

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留数定理

留数在定积分计算中的应用

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Fourier 变换的物理含义

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延迟性质

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