很多定积分可以利用费曼积分法与复变函数的方法更便捷地进行计算。
求\(I = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\cos x}{1+x^2}dx\)
费曼积分法
令\(y(a) = \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos ax}{1+x^2}dx,a>0\)，则\(I = 2y(1)\)，并且有\(y(0) = \displaystyle\frac{\pi}{2}\)。
\[y'(a) = \int_{0}^{+\infty}(\frac{\partial}{\partial a}\frac{\cos ax}{1+x^2})dx = -\frac{\pi}{2}+\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin ax}{x(1+x^2)}dx \Rightarrow y'(0) = -\frac{\pi}{2}\]
\[y''(a) = \int_{0}^{+\infty}[\frac{\partial}{\partial a}\frac{\sin ax}{x(1+x^2)}]dx = y(a) \Rightarrow y(a) = C_1e^{a}+C_2e^{-a}\]
求解常数\(C_1\)和\(C_2\)，得到\(y(a) = \displaystyle \frac{\pi}{2}e^{-a}\)，那么\(I = \displaystyle \frac{\pi}{e}\)。
留数法
注意到\(I = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\text{Re}(e^{ix})}{1+x^2}dx = \text{Re}(\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{ix}}{1+x^2}dx)\)，那么有：
\[\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{ix}}{1+x^2}dx = 2\pi i \text{Res}[\frac{e^{ix}}{1+x^2},i]=\frac{\pi}{e} \Rightarrow I = \frac{\pi}{e}\]